TD2 - Dynamique des fluides parfaits homogènes incompressibles
Exercice 1
L'entrée \(E\) d'un tuyau et sa sortie \(S\) se trouvent à \(10\ m\) et \(30\ m\) sous la surface libre d'un réservoir de grandes dimensions.
Le tuyau, de diamètre \(D\), se termine par un court rétrécissement \(T\) de diamètre \(d\).
L'écoulement est supposé permanent.
Données :
diamètre du tuyau \(D = 8\ cm\),
diamètre de la tuyère \(d = 4\ cm\),
\(g = 10\ ms^{-2}\)
Question
Quelle est la valeur de la vitesse \(V_T\) à la sortie du rétrécissement ?
Indice
Régime permanent
Fluide parfait en écoulement irrotationnel \(\Rightarrow\) V uniforme sur une section perpendiculaire aux lignes de courant.
Fluide incompressible homogène
Indice
Indice
Sur une ligne de courant, Bernoulli entre \(A\) et \(T\) :
\(H_A = H_T\)
\(\cancel{\frac{ P_a}{\rho g}}+ z_A+\frac{v_A^2}{2g}=\cancel{\frac{ P_a}{\rho g}}+ z_T+\frac{v_T^2}{2g}\)
Indice
Le réservoir a de grandes dimensions \(\Rightarrow s<<\varSigma\) ( avec \(s\) : section de la tuyère et \(\varSigma\) section du reservoir).
Régime permanent : \( Q = Cte = v_A\varSigma = v_T s\)
Indice
\(v_A = v_T \frac{s}{\varSigma}\Rightarrow v_A <<v_T\)
d'où \(v_T^2 = 2g(z_A-z_T)\)
Solution
\(v_T = \sqrt{2g(z_A-z_T)} = 24.5\ ms^{-1}\)
Question
Question
Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en \(E\) ainsi que dans la section situé juste en amont du rétrécissent de sortie ?
Indice
Bernoulli entre \(A\) et \(E\) :
\(\frac{ P_a}{\rho g}+ z_A+\cancel{\frac{v_A^2}{2g}}=\frac{ P_E}{\rho g}+ z_E+\frac{v_E^2}{2g}\)
de même que dans la question 1, \(v_A<<v_E\)
Indice
\(Q=Cte=v_T s=v_E s\)
\(v_E = v_T\left(\frac{d}{D}\right)^2\)
Indice
\(P_E = P_a +\rho g (z_A-z_E)-\rho \frac{v_E^2}{2}=P_a+\rho g (z_A-z_E) -\frac{\rho}{2}\left(\frac{d}{D} \right)^4 v_T^2\)
\(v_E = 6.125\ ms^{-1} \\ P_E = 1.81\ bar\)
Solution
\(P_S = P_a +\rho g (z_A-z_S)-\frac{\rho}{2}v_S^2\) avec \(v_S = v_E\) car \(Q=Cte\)
\(P_S = 3.81\ bar\)
Exercice 2
Un réservoir parallélépipédique se vide par un orifice percé dans le fond horizontal débouchant à l'air libre dont la section contractée est \(s\).
Données :
longueur du réservoir \(L=10\ m\),
largeur du réservoir \(l=5\ m\),
hauteur de liquide initiale dans le réservoir \(h_0=2\ m\),
section contractée \(s=0.5\ dm^2\),
\(g=10\ ms^{-2}\).
Question
Quel est le temps de sa vidange totale ?
On admettra que le plan de la section contacté se confond sensiblement avec le fond du réservoir.
La section de l'orifice de vidange est négligeable devant celle du réservoir ce qui provoque un écoulement quasi-stationnaire.
Indice
Indice
Entre \(t\) et \(t+dt\), la surface libre se déplace de \(dz\)avec une vitesse \(v(t)\).
Indice
Bernoulli entre \(A\) et \(B\) (durant \(dt\))
\(\frac{P_A}{\rho g}+z+\frac{v(t)^2}{2g}=\frac{P_B}{\rho g}+\frac{v_B(t)^2}{2g}\)
Indice
\(v_A<<v_B\) (approximation car ce n'est pas un régime permanent)
\(\cancel{\frac{P_a}{\rho g}}+z+\cancel{\frac{v(t)^2}{2g}}=\cancel{\frac{P_a}{\rho g}}+\frac{v_B(t)^2}{2g}\)
\(v_B(t) = \sqrt{2gz}\)
Indice
entre \(t\) et \(t+dt\):
Fluide incompressible \(\Rightarrow\) sur un tube de courant \(v.S=cte\)
Fluide parfait \(\Rightarrow\) vitesse uniforme sur \(S\)
\(\nabla.\vec{v}=0\);
\(Q(t)=v(t)S=v_B(t)s\)
Indice
\(-\frac{dz}{dt}S=v_Bs=\sqrt{2gz}s\)
\(-\frac{dz}{dt}=\sqrt{2g}\frac{s}{S}z^{1/2}\)
\(-\displaystyle{ \int_h^0\frac{dz}{z^{1/2}}=\sqrt {2g}\frac{s}{S}\int_0^{t_V}dt}\)
\(\displaystyle{\left[ 2z^{1/2}\right]_0^h=\sqrt{2g}\frac{s}{S} t_V}\)
\(2\sqrt{h}=\sqrt{2g}\frac{s}{S}t_V\)
Solution
\(t_V=\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{S}{s}\)
AN : \(t_V=6325\ s=1\ h\ 45\ min\)
Exercice 3
Un siphon permet l’écoulement de l'eau d'un réservoir de grandes dimensions. Il est constitué par un tuyau de diamètre \(d\) dont la ligne centrale s'élève à une hauteur \(h\) au dessus du niveau de la surface libre. Une fois le siphon amorcé, l'écoulement est supposé permanent.
Données :
diamètre du tuyau \(d=0.1\ m\),
\(h=4\ m\),
pression atmosphérique \(P_a \approx 1\ bar\)
\(g=10\ ms^{-2}\)
loi d'Antoine pour l'eau (\(T\) en \(°C\) et P en \(kPa\))
\(log P=A-\frac{B}{T+C}\text{ avec } \left \{\begin{array}{r c l} A & = & 7.06252 \\ B & = & 1650.270 \\ C & = & 226.346 \end{array}\right .\)
Question
Quel débit maximal peut-on espérer obtenir avec ce dispositif sans qu'il se produise de cavitation ?
Indice
Pour éviter la cavitation, la pression du liquide dans le tuyau doit toujours être supérieure à la pression de vapeur saturante de l'eau à la température considérée.
Indice
Bernoulli entre la surface libre du réservoir A et un point B dans le tuyau situé sur la même ligne de courant :
\(\frac{P_a}{\rho g}+z_A+\cancel{\frac{v_A^2}{2g}}=\frac{P_B}{\rho g}+z_B+\frac{v_B^2}{2g}\)
Le réservoir est de grande dimension \(\Rightarrow v_A<<v_B\)
Indice
\(\frac{P_B}{\rho g}=\frac{P_a}{\rho g}+(z_A-z_B)-\frac{v_B^2}{2g}\)
La pression est d'autant plus faible que l'écart \(z_B-z_A\) est grand.
La portion du siphon où la pression est la plus faible et où par conséquent les risques de cavitation sont les plus importants est la partie la plus élevée au dessus du réservoir = partie située à une hauteur \(h\).
Indice
Le débit maximal est alors donnée par :
\(Q=vS\) avec \(\frac{v^2}{2g}=\frac{P_a-P_{V sat}}{\rho g}-h\)
\(\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2(P_a-P_{Vsat})}{\rho}-2gh}\)
Indice
or \(P_{Vsat}<<P_a\) voir tables \(T=25°C, P_{Vsat}=0.032\ bar\)
Solution
\(Q=\sqrt{2\left(\frac{P_a}{\rho}-gh\right)}\ S\)
AN : \(Q=0.086\ m^3 s^{-1}\) si on ne néglige pas \(P_{Vsat} : Q=0.085\ m^3 s^{-1}\)
Question
Quelle doit être alors la cote de la sortie \(S\) ?
Indice
Bernoulli entre \(A\) et \(S\)
\(\cancel{\frac{P_a}{\rho g}}+z_A+\cancel{\frac{v_A^2}{2g}}=\cancel{\frac{P_a}{\rho g}}+z_S+\frac{v_S^2}{2g}\) avec \(v_S=\frac{Q}{S}\)
Indice
\(z_A-z_S = \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{S} \right)^2\)
Solution
\(z_A-z_S = 6\ m\) avec \(z_A=0\)
\(z_S=-6\ m\)
Remarque :
On peut également appliquer Bernoulli entre un point situé à une hauteur \(h\) et \(S\).
Exercice 4
Un jet débouchant dans une atmosphère à pression constante \(P_a\) rencontre une paroi plane de surface \(S\) inclinée d'un angle \(\alpha\) par rapport à l'axe initial de l'écoulement.
La section initiale du jet est \(S_0\). Après impact sur la plaque, le jet s'échappe en deux nappes de section respective \(S_1\) et \(S_2\). Au niveau des sections \(S_1\), \(S_2\) et \(S_0\), les lignes de courant sont rectilignes. Le fluide est supposé parfait, non pesant, homogène et incompressible. L'écoulement est permanent.
hypothèses :
régime permanent
fluide homogène incompressible
fluide parfait
fluide non pesant
Question
Déterminer la résultante des forces de pression exercées par le fluide du jet et l'air de l'atmosphère sur la paroi plane.
Indice
Notons le tube de courant de surface externe :
\(\Sigma = S_0 \cup S_1 \cup S_2 \cup S_{lat} \cup S\)
et de volume \(\omega\)
avec \(S=\)surface de la plaque en contact avec le jet.
Indice
\(\overrightarrow{F_{plaque\rightarrow fluide_1}}=\displaystyle \iint_S\vec\sigma_1 dS=\iint_S-P\vec n dS\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{F_{fluide_1\rightarrow plaque}}=\displaystyle \iint_S P\vec n dS\)
\(\overrightarrow{F_{plaque\rightarrow fluide_2}}=\displaystyle \iint_S\vec\sigma_2 dS=\iint_S-P_{atm} \vec n_2 dS\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F_{fluide_2\rightarrow plaque}}=\displaystyle \iint_S -P_{atm} \vec n dS\)
\(\vec F=\vec F_1 + \vec F_2= \overrightarrow{F_{fluide\rightarrow plaque}}=\displaystyle \iint_S(P-P_{atm})dS \vec n\)
Indice
Théorème des quantités de mouvement :
\(\displaystyle \underbrace{\iiint_\omega \frac{\partial \rho \vec v}{\partial t}d\omega}_{\displaystyle =0 \text{ régime permanent}} + \iint_\Sigma \rho \vec v \left( \vec v \vec n\right) dS = \iiint_\omega \vec f d\omega + \iint_\Sigma \vec T dS\)
Indice
\(\displaystyle{\iint_\Sigma \rho \vec{v} \left(\vec{v}.\vec{n}\right)dS=\underbrace{\cancel{\iiint_\omega \rho \vec{g} d\omega }}_{\text{\normalsize{fluide non pesant}}} - \iint_\Sigma P\vec{n}}dS+\underbrace{\cancel{\iint_\Sigma \tau \vec{n}dS}}_{\text{\normalsize{fluide parfait}}}\)
Indice
\(\displaystyle{\iint_{S_1} \rho \overrightarrow{v_1} \left(\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{n_1}\right)dS+\iint_{S_2} \rho \overrightarrow{v_2} \left(\overrightarrow{v_2}.\overrightarrow{n_2}\right)dS +\iint_{S_0} \rho \overrightarrow{v_0} \left(\overrightarrow{v_0}.\overrightarrow{n_0}\right)dS+\underbrace{\cancel{\iint_{S_{lat}} \rho \vec{v} \left(\vec{v}.\overrightarrow{n_{lat}}\right)dS}}_{\text{\normalsize{application au tube de courant}}}+\underset{\text{\normalsize{normale à la paroi}}}{\underbrace{\cancel{\iint_{S} \rho \vec{v} \left(\vec{v}.\vec{n}\right)dS}}_{\text{\normalsize{perpendiculaire à la }}}}=\iint_\Sigma -P\vec{n}}dS\)
Indice
Le fluide est parfait en écoulement irrotationnel unidirectionnel au niveau de \(S_0\), \(S_1\) et \(S_2\).
\(\Rightarrow\) La vitesse est uniforme sur une section perpendiculaire au ligne de courant.
Sur \(S_0\), \(\overrightarrow{v_0}= cte\)
Sur \(S_1\), \(\overrightarrow{v_1}= cte\)
Sur \(S_2\), \(\overrightarrow{v_2}= cte\)
Indice
\(\displaystyle\overbrace{\overrightarrow{v_1}\iint_{S_1} \rho \overrightarrow{v_1} \overrightarrow{n_1} dS+\overrightarrow{v_2}\iint_{S_2} \rho \overrightarrow{v_2} \overrightarrow{n_2} dS+\overrightarrow{v_0}\iint_{S_0} \rho \overrightarrow{v_0} \overrightarrow{n_0} dS}^{\displaystyle{\overrightarrow{v_1}\left(\rho v_1S_1\right)+ \overrightarrow{v_2}\left(\rho v_2S_2\right)- \overrightarrow{v_0}\left(\rho v_0S_0\right)}}\)
\(\displaystyle{=\iint_{S_1} -P_1 \overrightarrow{n_1} dS+\iint_{S_2} -P_2 \overrightarrow{n_2} dS+\iint_{S_0} -P_0 \overrightarrow{n_0} dS+\iint_{S_{lat}} -P_{lat} \overrightarrow{n_{lat}} dS+\iint_{S} -P \vec{n} dS}\)
Indice
Pour un fluide parfait en écoulement unidimensionnel rectiligne \(\Rightarrow \ P^*=cte\) sur une section perpendiculaire aux lignes de courant \(\Rightarrow\) sur \(S_0, P_0^*=cte\) avec \(P_0^*=P_0+\underbrace{\cancel{\rho g x _z^*}}_{\text{\normalsize fluide non pesant}}\Rightarrow P_0=cte=P_{atm}\)(continuité des pressions à l'interface).
Sur \(S_1, P_1^*=cte=P_{atm}\)
Sur \(S_2, P_2^*=cte=P_{atm}\)
sur la surface latérale \(S_{lat}\) en contact avec l'air :
\(P=P_{atm}=cte\)
Indice
On a donc :
\(\left(\rho v_1S_1\right)\overrightarrow{v_1}+ \left(\rho v_2S_2\right)\overrightarrow{v_2}- \left(\rho v_0S_0\right)\overrightarrow{v_0}\)
\(=-\iint_{S_1} P_{atm} \overrightarrow{n_1} dS-\iint_{S_2} P_{atm} \overrightarrow{n_2} dS-\iint_{S_0} P_{atm} \overrightarrow{n_0} dS-\iint_{S_{lat}} P_{atm} \overrightarrow{n_{lat}} dS-\iint_{S} P \vec{n} dS\)
\(=-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}} P_{atm} \vec{n} dS-\iint_{S} P \vec{n} dS\)
\(=-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}} P_{atm} \vec{n} dS-\iint_{S} P \vec{n} dS +\iint_{S} P_{atm} \vec{n} dS-\iint_{S} P_{atm} \vec{n} dS\)
\(=-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}\cup S} P_{atm} \vec{n} dS-\iint_{S} \left(P-P_{atm}\right) \vec{n} dS\)
\(=-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}\cup S} P_{atm} \vec{n} dS-\vec F\)
Indice
on a:
\(-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}\cup S} P_{atm} \vec{n} dS=-\iint_{\Sigma} P_{atm} \vec{n} dS\)
avec \(\Sigma = S_0 \cup S_1 \cup S_2 \cup S_{lat} \cup S\) surface fermée délimitant le volume \(\omega\) de fluide
(\(\Rightarrow\) formule d'Ostrogradski)
Indice
\(\displaystyle-\iint_{\Sigma} P_{atm} \vec{n} dS=-\iiint_\omega \nabla P_{atm} d\omega\) avec \(P_{atm}=cte \Rightarrow \nabla P_{atm}=0\)
donc \(\displaystyle-\iint_{\Sigma} P_{atm} \vec{n} dS=0=-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}\cup S} P_{atm} \vec{n} dS\)
\(\left(\displaystyle-\iint_{S_1\cup S_2 \cup S_0 \cup S_{lat}} P_{atm} \vec{n} dS = \iint_{S} P_{atm} \vec{n} dS\right)\)
Indice
donc :
\(\vec{F}=\left(\rho v_0S_0\right)\overrightarrow{v_0}- \left(\rho v_1S_1\right)\overrightarrow{v_1}- \left(\rho v_2S_2\right)\overrightarrow{v_2}\)
Indice
on projette sur la normale de la plaque \(\vec{n}\)
\(F=\left( \rho v_0 S_0\right) v_0\ cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
\(F=\rho v_0^2 S_0 sin\alpha\)
Solution
\(\vec{F}=\rho v_0^2 S_0 sin\alpha\ \vec{n}\)