Dr (HDR) Sylvain Serra

\(i \) : indice des courants chauds , \(i\in C={1,NC}\), \(NC\) est le nombre de courants chauds

\( j\) : indice des courants froid , \(j\in F={1,NF}\), \(NF\) est le nombre de courants froid

\(k\) : indice des étapes, \(k\in E={1,NE}\), \(NE\) est le nombre d'étapes

\(FCp_i\) : Produit du débit et de la capacité calorifique du courant chaud \(i,\ [kW\ K^{-1}]\)

\(FCp_j\) : Produit du débit et de la capacité calorifique du courant froid \(j,\ [kW\ K^{-1}]\)

\(T_i^e\) : Température d'entrée du courant chaud \(i\)

\(T_i^s\) : Température de sortie du courant chaud \(i\)

\(T_j^e\) : Température d'entrée du courant froid \(j\)

\(T_j^s\) : Température de sortie du courant froid \(j\)

\(T^e_{eau}\) : Température d'entrée de l'utilité froide (eau)

\(T^s_{eau}\) : Température de sortie de l'utilité froide (eau)

\(T_{vap}\) : Température d'entrée et de sortie de l'utilité chaude (vapeur saturée)

\(qc_i^{tot}=\left(T_i^e-T_i^s \right)FCp_i\) : Puissance totale échangée par le courant chaud \(i\)

\(qf_j^{tot}=\left(T_j^s-T_j^e \right)FCp_j\) : Puissance totale échangée par le courant froid \(j\)

\(h_i\) : Coefficient de transfert de chaleur du courant chaud \(i,\ kW\ m^{-2}\ K^{-1}\)

\(h_j\) : Coefficient de transfert de chaleur du courant froid \(j,\ kW\ m^{-2}\ K^{-1}\)

\(h_{eau}\) : Coefficient de transfert de chaleur de l'utilité froide \(kW\ m^{-2}\ K^{-1}\)

\(h_{vap}\) : Coefficient de transfert de chaleur de l'utilité chaude \(kW\ m^{-2}\ K^{-1}\)

\(U_{i,j}=\frac{1}{\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_j}}\) : Coefficient global d'échange entre \(i\) et \(j\)

\(UF_{i}=\frac{1}{\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_{eau}}}\): Coefficient global d'échange entre \(i\) et l'utilité froide

\(UC_{j}=\frac{1}{\frac{1}{h_j}+\frac{1}{h_{vap}}}\): Coefficient global d'échange entre \(j\) et l'utilité chaude

\(C_{aire}\) : Coût de l'air des échangeurs

\(C_{fix}\) : Coût fixe des échangeurs

\(C_{eau}\) : Coût de l'utilité froide

\(C_{vap}\) : Coût de l'utilité chaude

\(dT^{min},dT^{max}\) : Valeur minimale et maximale des différences de température

\(Z\) : Fonction objectif

\( q_{i,j,k}\) : Puissance échangée, à l’étape \(k\), entre le courant chaud \(i\) et le courant froid \(j\)

\(quf_i\) : Puissance échangée entre le courant chaud \(i\) et l’utilité froide

\(quc_j\) : Puissance échangée entre le courant froid \(j\) et l’utilité chaude

\(T^e_{i,k}\) : Température d’entrée du courant chaud \(i\) dans l’étape \(k\)

Intervalle de définition \(\left[T_i^s ;T_i^e\right]\)

\(T^s_{i,k}\) : Température de sortie du courant chaud \(i\) dans l’étape \(k\)

Intervalle de définition \(\left[T_i^s ;T_i^e\right]\)

\(T^e_{j,k}\) : Température d’entrée du courant froid \(j\) dans l’étape \(k\)

Intervalle de définition \(\left[T_j^s ;T_j^e\right]\)

\(T^s_{j,k}\) : Température de sortie du courant froid \(j\) dans l’étape \(k\)

Intervalle de définition \(\left[T_j^s ;T_j^e\right]\)

\(dT^g_{i,j,k}\) : Différence de température, à gauche de l’étape \(k\), entre le courant chaud \(i\) et le courant froid \(j\)

Intervalle de définition \(\left[dT^{min} ;dT^{max}\right]\)

\(dT^d_{i,j,k}\) : Différence de température, à droite l’étape \(k\), entre le courant chaud \(i\) et le courant froid \(j\)

Intervalle de définition \(\left[dT^{min} ;dT^{max}\right]\)

\(dTuf_i\)  : Différence de température, à gauche de l’échangeur, entre le courant chaud \(i\) et l’utilité froide

Intervalle de définition \(\left[dT^{min} ;dT^{max}\right]\)

\(dTuc_j\) : Différence de température, à droite de l’échangeur, entre le courant froid \(j\) et l’utilité chaude

Intervalle de définition \(\left[dT^{min} ;dT^{max}\right]\)

\(y_{i,j,k}\) : Couplage, à l’étape \(k\), entre le courant chaud \(i\) et le courant froid \(j\)

\(yuf_i\) : Couplage entre le courant chaud \(i\) et l’utilité froide

\(yuc_j\) : Couplage entre le courant froid \(j\) et l’utilité chaude

Courants chauds

\(qc_i^{tot} = \underset{k\in E}{\sum} \underset{j\in F}{\sum} q_{i,j,k} + quf_i\) avec \(i\in C\)

Courants froids

\(qc_j^{tot} = \underset{k\in E}{\sum} \underset{i\in C}{\sum} q_{i,j,k} + quc_j\) avec \(j\in F\)

Courants chauds

\(\left( T^e_{i,k}-T^s_{i,k}\right)FCp_i = \underset{j\in F}{\sum} q_{i,j,k}\) avec \(i\in C, k\in E\)

Courant froids

\(\left( T^s_{j,k}-T^e_{j,k}\right)FCp_j = \underset{i\in C}{\sum} q_{i,j,k}\) avec \(j\in F, k\in E\)

Utilités froides

\(\left(T^s_{i,NE}-T^s_i \right)FCp_i=quf_i\) avec \(i\in C\)

Utilités chaudes

\(\left(T^s_j-T^s_{j,1}\right)FCp_j=quc_j\) avec \(j\in F\)

Courants chauds

\(T^s_{i,k} = T^e_{i,k+1}\) avec \(i\in C, k=[1 ; NE-1]\)

Courants froids

\(T^e_{j,k} = T^s_{j,k+1}\) avec \(j\in F, k=[1 ; NE-1]\)

Courants chauds

\(T^e_{i,1}=T^e_i\) avec \(i\in C\)

Courants froids

\(T^e_{j,NE}=T^e_j\) avec \(j\in F\)

Chaud/Froid

\(q_{i,j,k} \le y_{i,j,k} Max\left( qc_i^{tot}, qf_j^{tot}\right)\) avec \(i\in C, j\in F, k \in E\)

Chaud/utilité

\(quf_i\le yuf_i.qc_i^{tot}\) avec \(i\in C\)

Froid/utilité

\(quc_j\le yuc_j.qf_j^{tot}\) avec \(j\in F\)

courants chauds

\(\underset{j\in F}{\sum}y_{i,j,k}\le 1\) avec \(i\in C, k\in E\)

courants froids

\(\underset{i\in C}{\sum}y_{i,j,k}\le 1\) avec \(j\in F, k\in E\)

\(dT^g_{i,j,k} \le T^e_{i,k}-T^s_{j,k}+dT^{max}(1-y_{i,j,k})\) avec \(i\in C, j\in F, k\in E\)

\(dTuf_i\le T^s_{i,NE}-T^s_{eau}+dT^{max}(1-yuf_i)\) avec \(i\in C\)

\(dT^d_{i,j,k} \le T^s_{i,k}-T^e_{j,k}+dT^{max}(1-y_{i,j,k})\) avec \(i\in C, j\in F, k\in E\)

\(dTuc_j\le T_{vap}-T^s_{j,1}+dT^{max}(1-yuc_j)\) avec \(j\in F\)

\(dT^d_{i,j,k}=dT^g_{i,j,k+1}\) avec \(i\in C, j\in F, k\in E\)

\(z=C_{fix}\left(\underset{i\in C}{\sum} \underset{j\in F}{\sum}\underset{k\in E}{\sum}y_{i,j,k}+\underset{i\in C}{\sum}yuf_i+\underset{j\in F}{\sum}yuc_j \right)\\+C_{eau}\underset{i\in C}{\sum}quf_i+C_{vap}\underset{j\in F}{\sum}quc_j\\+C_{aire}\frac{\underset{i\in C}{\sum} \underset{j\in F}{\sum}\underset{k\in E}{\sum}q_{i,j,k}}{U_{i,j}LMTD\left(dT^g_{i,j,k},dT^d_{i,j,k}\right)}\\+C_{aire}\frac{\underset{i\in C}{\sum}quf_i}{U_{i,eau}LMTD\left(dTuf_i,T_i^s-T^e_{eau}\right)}\\+C_{aire}\frac{\underset{j\in F}{\sum}quc_j}{U_{j,vap}LMTD\left(T^e_{vap}-T^s_j,dTuc_j\right)}\)

avec :

\(LMTD\left(dT_1,dT_2\right)\approx \left[dT_1dT_2\frac{(dT_1+dT_2)}{2} \right]^{1/3}\)